质周期分析

质周期析

陕西省气象局张时钊

1977．10 初稿 1980．8 ，1982．3 修改

小引

质周期分析是为了做超长期遂日天气预报而提出来的，也适用于一切人们还不能控制的事物，如地震等．对这些事物，我们只能作被动的观测，再从记录序列中分析其发展变化的规律性．这规律性主要是，归根结底只能是周期性．

已有的周期分析方法种类繁多，其中较科学的唯有谐波分析．它可把周期已知的时间函数分解为单纯的正弦函数，但用于大量总周期未知的实际时间序列，效果却不很理想．因为这里有三个不能克服的矛盾：总周期未知，要分析尽可附合实际，所取记录资料应愈长愈好，但资料一长，短波成份就被平滑掉了，故文献上反而要求供分析的资料要短；同样，用周期分析方法做天气预报的文献几乎都认为，所采用的周期数不能太多，以 3-5 个为宜，实际上天气现象十分复杂，周期何至几十几百，且周期也不可能恰好是整数；谐波分析的数学原理是傅里哀变换，无明显不变的总周期时，无穷序列只当收敛时才能进行傅里哀变换，天气时间序列实际上是无穷长的，显然不收敛．

质周期分析虽然也从分解已知周期的离散函数开始(见第一节)，而且其实质不过是对谐波分析算法的简化(见第七节)，但从它的特殊滤波作用的研究中(见第八节)，可看出已能克服上述的种种缺陷．

第一节定义

特定的一个离散时间序列｛ｔ_i｝，ｉ＝ ┅ －２，－１，０，１，２┅ 由零点时刻ｔ₀ ，时间单位τ＝ｔ_i+1－ｔ_i（对一切ｉ）唯一地确定，可记为

（ｔ₀，τ）　

我们假定它是业已取定的．

定义：离散时刻｛ｔ_i｝上的数值函数ｆ（ｔ_i），若存在某整数

Ｔ，并对任何整数ｋ，恒有：

ｆ（ｔ_i）＝ｆ（ｔ_i＋ｋＴ） ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (1)

则称为离散型周期函数，Ｔ称为它的周期．

后面讨论的周期函数，甚至简称为函数，如不作声明，一律是指离散型周期函数．

定义：周期函数的最大值ｍ_iａｘｆ（ｔ_i）称为波峰，



最小值ｍ_iｉｎｆ（ｔ_i）称为波谷，



其差ｍ_iａｘｆ（ｔ_i）－ｍ_iａｘｆ（ｔ_i）称为振幅．

 

此外，只要函数值大于（小于）相邻两时刻的值，也可称为波峰(波谷)．

定义：对于周期Ｔ＝ｎ的函数，从任一时刻ｔ_i开始到ｔ_i＋ｎτ，称为一个周期．确切地说，一个周期是半开区间［ｔ_i, ｔ_i＋ｎτ）．一个周期内的ｎ个时刻称为ｎ个不同的相．若定某时刻ｔ为初相，则其后ｎ－１个相分别为ｔ_k＝ｔ₀＋ｎτ，ｋ＝１，２，┅┅ｎ－１．于是，任一周期函数，按式⑴的性质，可用任一周期的ｎ个相继相的值ｘ（亦即ｎ个元素）和一个初相时刻ｔ₀来表达（离散形式）：

Ｆｎ：｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅┅ ｘ_n-1｝；ｔ₀

其中：ｘ_k＝ｆ（ｔ_0+k_τ）ｋ＝０，１，┅ ｎ－１．

┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ⑵

以下讨论的函数将都是以此形式给出的，并用一个大写字母Ｆ表示，加注下标指明它的周期．当用Ｆｎ来代表函数时，我们认为它的ｎ个函数值｛ｘ_i｝及一个初相时刻是巳经给定了的，这时，只要把子列｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅┅ ｘ_n-1｝重覆排列，首尾相接，就成为一个无穷的时间序列，该序列在所有时刻ｔ_i＋ｋｎτ（ｋ为一切整数）时的值均为ｘ_i．

对两函数Ｆｎ₁，Ｆｎ₂可以进行四则运算，其结果是这样的无穷时间序列：它的某时刻的元素，等于对两函数在该时刻的值作相应运算之结果．显然，我们不需要作无穷次这种运算，因为新序列仍是周期函数，其周期等于最小公倍数ｎ＝［ｎ₁，ｎ₂］，所以

只要得到相继ｎ个元素就够了．一般地，我们有：

定理①：ｉ个周期函数经过四则运算得到的函数仍是周期函数，其周期等

于这ｉ个周期函数的周期Ｔ_i＝ｎ_i 的最小公倍数ｎ＝［ｎ₁，

ｎ₂ ┅┅ｎ_i］．

另外，对周期函数的开方、乘方、取对数等运算，等于对它的各时刻的值进行相应的运算．常数ａ可看作是周期Ｔ＝１的函数，周期函数加、减、乘或除以ａ，等于该函数各时刻值的加、减、乘或除以ａ．

所有以上运算，称为初等运算，可以把各个Ｆｎ都当作一个普通的实数那样进行，我们也以普通的符号表示作：Ｆｎ±Ｆｍ，Ｆｎ±ａ，Ｆｎ·Ｆｍ，以及Ｆｎ／Ｆｍ，√^__Ｆｎ，（Ｆｎ）^a，lnＦｎ．

第二节分相统计

定义：Ｔ＝ｍ的周期函数Ｆｍ＝｛ｚ₀，ｚ₁，┅┅ ｚ_m-1｝，如果

它的元素ｚ_i是由于下式规定的对函数Ｆｎ＝｛ｘ₀，ｘ₁，┅┅

ｘ_n-1｝的分相统计之结果

［ｎ，ｍ］

──── －１

ｍｍ

ｚ_i＝ ───── Σ ｘ ┅┅┅┅ ⑶

^{［ｎ，ｍ］}^ｈ＝０

则写作Ｆｍ＝Ｓｍ（Ｆｎ），Ｓｍ称为按周期ｍ作的分相统计算

子，简称为统计算子．当ｍ为ｎ的因子时，特称Ｓｍ（Ｆｎ）为

Ｆｎ统计因子．按此定义，对Ｆｎ作按周期ｍ的分相统计的算法

是：从Ｆｎ的任一个初相时刻ｔ₀开始，顺次写出相继的Ｌ＝

［ｎ，ｍ］个元素，即ｘ₀，ｘ₁，┅┅┅ ｘ_L-1，然后每

［ｎ，ｍ］

ｍ个一组，依次分为─────组，各组重叠排列如下，然后求

ｎ

各列的平均值：

ｘ₀，ｘ₁，┅┅┅ ｘ_m-1

ｘ_m，ｘ_m+1，┅┅┅ ｘ_2m-1

平均值： z₀， z₁， ┅┅┅ z_m

在对实际时间序列进行各种分相统计时，必须先选定适当的零时刻ｔ₀（相当于天文学上的历元），并对该序列元素按整数数列编号．如果ｔ₀时刻的元素ｘ₀不是序列的第一个元素，可把它做上显眼的记号，作分相统计时，仍只要从第一个元素起顺序排列，不一定使ｘ₀排在第一列上．待平均值算好后，再检查打了记号的ｘ在那一列，那一个平均值就是统计因子的初相元素ｚ₀，其它元素则依次排在其后．有时为了方便，也可把编号１作为初相，这时周期函数记为：

Ｆｎ＝｛ｘ，ｘ，┅┅ ｘ｝．

定义：任何函数都具有周期Ｔ＝１的统计因子：

１ｎ－１

Ｓ₁（Ｆｎ）＝─── Σ ｘ_j+h ＝ｍ

ｎｈ＝０

称为相平均或平均值．平均值ｍ＝０的周期函数称为是标准化的．

显然，Ｆｎ－Ｓ1（Ｆｎ）：｛ｘ₀- m，ｘ₁- m，┅┅┅ ｘ_n-1- m｝是

标准化的函数．由于平均值ｍ＝Ｓ₁（Ｆｎ）不影响函数的形状和性质，我们常事先减去平均值，而只研究函数的标准化形式．

定理②：统计算子Ｓｍ具有下列性质：

⒈ Ｓｍ（ａ）＝ａ，Ｓｍ（Ｆｍ）＝Ｆｍ；

⒉ Ｓｍ是线性算子，即有：

Ｓｍ（ａＦｎ₁＋Ｆｎ₂）＝ａＳｍ（Ｆｎ₁）＋Ｓｍ（Ｆｎ₂）；

⒊ 若ｍ₁是ｍ₂的因子，则有：

Ｓｍ₁［Ｓｍ₂（Ｆｎ）］＝Ｓｍ₂［Ｓｍ₁（Ｆｎ）］

＝Ｓｍ₁（Ｆｎ）；

⒋ 若ｍ，ｎ互质：（ｍ，ｎ）＝１，则有：

Ｓｍ（Ｆｎ）＝Ｓ₁（Ｆｎ）．

［证明］：性质 ⒈──⒊ 是明显的，今仅证明性质⒋．由于ｍ，ｎ互质，按式⑶，Ｓｍ（Ｆｎ）的元素为：

１ｎ－１

ｚ_k = ── Σ ｘ_k+hm

ｎｈ＝０

当ｈ历遍０到ｎ－１时，ｈｍ刚好历遍ｎ的所有同余类．否则，至少对于某两个ｈ，ｈ’＜ｎ有ｈ·ｍ＝ｈ＇·ｍ（ｍｏｄｎ或（ｈ－ｈ＇）·ｍ＝０（ｍｏｄｎ），即ｎ整除（ｈ－ｈ＇）·ｍ．但这是不可能的，因为ｎ与ｍ互质，而┃ｈ－ｈ＇┃＜ｎ．这就是说，上式加和号下的Ｆｎ的元素Ｘ_k+hm刚好历遍它的所有ｎ个不同的相,所以z_k等于Ｆｎ的平均值S₁（Fｎ）．［证毕］

显然，当Ｆｎ是标准化函数时，若（ｍ，ｎ）＝１，就有Ｓｍ（Ｆｎ）＝０．此性质还可以推广为：

定理③：Ｓｎ［Ｓｍ（Ｆ_k）］＝Ｓ_(n,m)（Ｆ_k）

上式对任意整数ｎ，ｍ，ｋ都成立，式中（ｎ，ｍ）为ｎ，ｍ的

公约数．

［证明］：为了实现上式左方的分相统计，只要用函数Ｆ_k 的一个长度为公倍数［ｎ，ｍ，ｋ］的子列就行了．现在把这子列元素每（ｎ，ｍ）个一组，划为相继的

[n,m,k]

Ｌ＝ ───── 个组，

(n,m)

把每一个组看作是一个（ｎ，ｍ）维向量，把整个子列看作是周期为Ｌ的（ｎ，ｍ）维函数Ｆ_L，对Ｆ_k的分相统计Ｓｍ，可看作是对Ｆ_L的按周期

ｍ＇＝ ────

(n,m)

的分相统计Ｓｍ＇，同样，对Ｆ_k的Ｓｎ，可以看作是对Ｆ_L 的Ｓｎ＇，这里

ｎ＇＝ ───── ．

(n,m)

由于Ｓｍ＇（Ｆ_L）是周期为ｍ＇的函数，而ｎ＇、ｍ＇互质，应用定理② 的性质 ⒋ ，可知Ｓｎ＇［Ｓｍ＇（ｆ_L）］＝Ｓ₁（Ｆ_L）．所得结果是（ｎ，ｍ）维函数Ｆ_L的平均值，其元素是一个（ｎ，ｍ）维向量，它正是对Ｆ_k按周期（ｎ，ｍ）作的分相统计结果，即：

Ｓ₁（Ｆ_L）＝Ｓ_(n,m)（Ｆ_k）．［证毕］

由定理③，我们看到，施于同一函数（或序列）的两次分相统计运算，前后次序是可以交换的．如果借用符号 Π ，把连续进行多次的分相统计Ｓｎ₁,Sｎ₂，┅┅ Ｓｎ_i,表为（ Π Ｓｎ_i），用归纳法不难推得：

（ Π Ｓｎ_i）（Ｆｍ）＝Ｓｎ（Ｆｍ）

其中ｎ＝（ｎ₁，ｎ₂，┅┅ｎ_i）为公约数

现在，定理②中的性质⒈，⒊，⒋都是定理③的特例，这对于性质⒊是显然的，对于性质⒈，只要把常数ａ及函数Ｆｍ分别看作是对函数Ｆ_k的分相统计结果Ｓ₁（Ｆ_k），Ｓｍ（Ｆ_k）（ｋ为ｍ的倍数），对于性质⒋，只要把Ｆｎ写作Ｓｎ（Ｆｎ）＝Ｆｎ，就不难从定理③得出来．这样，算子Ｓｍ的性质可归纳为两点：

定理④

Ⅰ．Ｓｍ（ａＦｎ₁＋Ｆｎ₂）＝ａＳｍ（Ｆｎ₁）＋Ｓｍ（Ｆｎ₂） ┅⑷

Ⅱ．（ Π Ｓｍ_k）（Ｆｎ）＝Ｓｍ（Ｆｎ）

ｉ

ｍ＝（ｍ₁，ｍ₂