期货市场的非线性动力系统的性质及应用的研究

邵俭

非线性动力学系统的数学，一般被称做混沌理论。实质上，一个混沌系统可以产生看上去随机实际上却并非真正随机的结果。而动力学系统是一个反馈系统，出来的东西会回去，经过变换再出来，没有止尽，任何初始值的差别会以指数方式增长，以致于产生庞加来（1908，数学家）所指出的非线性动力系统的重要性质：一个我们根本注意不到的非常小的因可以决定一个我们不可能注意不到的果，而那时我们会说这是出于偶然，初始条件的很小差异产生出最终现象的极大不同的这种情况是会发生的。前者的很小误差导致后者极大的误差。

而做为期货市场的分析师，特别是基本因素分析师就会经常遇到这种尴尬的局面，一个当初未曾加以注意的小的因素，比如说新的转基因大豆技术的产生，在它诞生之初可能大部分的基本因素分析师都不会注意到这个不起眼的新生事物，而把注意力集中在当时的库存产量天气等方面，根本无法想象它会带来近400美分的跌幅，而在市场进行了大幅的下跌之后，市场中的每一个人又都无法不注意到它，这样的例子比皆是，也从一个侧面映证了证券期货市场是一个非线性动力系统。

首先的一个问题，也是前提性的一个问题，是我们做为操作人员，市场分析师，赖以生存的基础性的问题，就是：期货市场的价格波动，是可以预测的，还是一个纯粹随机走动的市场？

1900年,法国数学家路易.巴舍利耶（Louis Bachelier)通过对巴黎股市的研究,提出了有效率市场、股价随机漫步等思想。但他的论文未能引起学术界的重视,此后尘封50多年。五十年代萨缪尔森发现了他的论文,大为推崇。1965年,萨缪尔森得出"在股市上赚钱和在赌场上赢钱的难度相等"的结论,认同随机漫步理论。

1970年,法玛（Fama)提出有效市场(EMH)概念。法玛认为,当证券价格能够充分地反映投资者可以获得的信息时,证券市场就是有效市场。在有效市场中,无论选择何种证券,投资者都只能获得与投资风险相当的正常收益率。法玛根据投资者可以获得的信息种类将有效市场分成三个层次:弱式有效市场、半强式有效市场和强式有效市场。其差异在于各自所涉及的信息是不同的,弱式有效市场中的信息,仅指以往的证券价格信息；半强式有效市场的信息,包括所有公开可获得的信息；强式有效市场中的信息,包括了所有的信息(公开信息和内幕信息)。如果弱式有效市场假设成立,技术分析法无效；如果半强式有效市场假设成立,则基本分析法无效；如果强式有效市场假设成立,内幕操纵将变得无利可图。

从本质上讲，EMH的假设是：投资者是理性的，价格充分反映了所有的信息，投资者数目的众多，并且众多的投资者在消化并评估了所有的风险后，市场找到了它的均衡价格，所以市场是平衡的是不会犯错的。因此对市场的公开信息来获取超额收益率的努力是不会产生效果的，因为所有过去的信息既然已经反映在价格里了，市场于是就会遵循随机走动，每一天的价格与前一天的活动不相关。

对于这个问题的回答，将决定我们的投资哲学的立足点，所以它是至关重要的一个问题。我们经过大量研究和在实际观察中得出的基础结论是：市场是可以通过公开信息进行预测的，总体的确定性和局部的随机性共存，市场价格具有"长期记忆性"。

在以下的部分我们将对这个结论通过非线性动力学给出证明。

二、通过赫斯特指数区分随机与非随机走动（分形时间序列）

赫斯特指[Hurst exponent(H)]是一个非常有力的工具,对于所有时间序列分析都有着广泛的用途，它可以将时间序列分类，并且将一个随机序列从一个非随机序列中区分开来，即使非随机序列是非正态分布的。赫斯特发现大多数自然系统都不遵循随机走动，不论是什么形态。

我们制作了一个程序，用来测试价格序列，此处我们引用LME三月铜的的历史数据，从95年3月1日至2002年11月5日止的既存时间序列t开始，观测次数为1942次。

X t, N=

其中： X t, N=N个期间的累积离差

eu=日期u的收盘价

MN=N个期间 eu的算术平均值

这时，极差R=Max( X t, N) - Min ( X t, N)

其中： R是X的极差

Max( X t, N) 是X的最大值

Min ( X t, N) 是X的最小值

(是对 t 取极值,t=1,2,……N?)

为了比较不同类型的时间序列，赫斯特用原来的观测值的标准差去除极差。这个“重标极差”应该随时间增加。赫斯特建立以下关系：

R/S=（aN)

其中：R/S=重标极差

N=观测次数

a=常数（可以默认为0.5)

H=赫斯特指数

S=标准差=

通过取R/S的对数

得到： log（R/S）=H( log(N)+log(a))

(以上式子N为变量? R/S也都重算? 它就是V/S? 下文未交代)

在对数图表上得出的对应的 N=e

赫斯特指数(H)有三个不同类型:

(1) H=0.5 标志着一个序列是随机的,事件是随机的和不相关的.

(2) 0<= H< 0.5 标志着一个称为“均值回复”反持久性的时间序列。即如果一个系统在前一个时期是向上走的，那么，在下一个时期多半是向下走的；如果前一个时期是向下的，则后一个时期多半会向上走。距离0越近越具备负相关性。

（3） 0.5 < H < 1 标志着一个持久性或趋势增强的序列，如果它在前一个时期是向上（下）行走的，则在下一个时期将继续。赫斯特发现持久性自然界有很多，资本市场也属于持久性序列。这与我们在实际中观察到的价格的波动的经验非常类似。即：在一个回调后，原有的趋势在大多数的情况下是得到继续而不是反转。

下图是LME三月铜自95年以来的R/S图，得到的H= 0.988 ，映证了我们关于商品期货价格是一个持久性时间序列的假设。

我们选择LME三月综合铜的价格做为测试数据，主要是因为它是连续交易的数据，不存在换月而造成的数据跳空问题。我们也做了相关性分析，就长期而言成交量和持仓量与价格几乎没有相关性（相关系数低于0.29)。

下图是LME自95年2月9日至2002年11月5日止，共1945个交易日的收盘价的V/S检验图。直线为以最小二乘法做出的回归线，其斜率为指数H。曲线的纵轴是ln(V/S)值，横轴是ln(N)的对应值。

由于数据还不够充分的长，因而没有能够体现出记忆的耗散性。

(横轴数字应删一半,即只标0.0,0.6,1.2……)

而这一检验结果也与传统的道.琼斯理论的主要假设相吻合：即价格以趋势方式运动，分为三个层次：主级正向波，次级逆向波，日间杂波。次级逆向波之后会再次产生主级正向波。

赫斯特指出：现在对于未来的相关性可以用公式 C=2-1来表示。

其中：C=相关性度量

H=赫斯特指数

那么，我们可以看到LME三月铜的相关性度量 C=2 -1 = 0.967

换言之，未来的情况与现在的价格有着巨大的相关性！！

附：主要期货品种的赫斯特指数

品种	观测起始日	观测终止日	观测次数	赫斯特指数
S05	96-5-17	02-5-21	1409	0。913
SBCX	93-8-2	02-11-6	2101	0。881
ZB小麦	01-8-1	02-11-6	303	0。967
S11	96-11-20	02-11-6	1393	0。823

三、H指数在实际交易中的运用

一切的理论都是为了指导实践，做为一个实际的交易者，更为关心的是如何在市场中寻找价格波动的确定性部分。

那么首先的一个问题应该是预测可能有效的长度是多少，现有价格对未来的记忆是不是无限的。

由此引出第一个应用上的问题：

1、价格的有效预测区间的估计

基本结论：预测区间有限长

自然系统可能有分数布朗运动模型所假定的那种长期记忆，然而，这种记忆不是无限长的，可能会很长，但却是有限的，如同自然分形和数学分形之间的关系：数学分形可以任意缩放，从无限小到无限大，然而，自然分形受制于其物理特征，到了某一点就不能再缩放下去了。通过对各个品种的测试，可以得出这样一个基本结论：资本市场的时间序列具有长而有限的记忆特征，但各个市场不相同，各个品种之间也不相同。

由此又引出第二个应用上的问题，预测的有效区间有多长？或者说多长一个时间范围内的预测是“可信的”？

2、非周期平均循环数的估计

商品价格的波动具有“周期性”的规律，但周期性不是周期，周期是一个可以严格用正弦波来表达的概念，但实际上，价格的波动表现出来的更多是一种具有周期特征的行为，在周期的波峰或波谷，即我们所关注的操作上的“拐点”,却经常出现偏移,或者在对应波峰的位置出现一个波谷，令我们无所适从，无法得到一个明确的可以应用的周期值，即使使用波谱分析的方法也无法得到。在这里，我们引入一个E.彼得斯的“非周期循环”的概念，以“循环”代替“周期”，在非线性动力系统内，存在着非周期循环，这些循环有一个平均持续周期，换言之，一个未来的循环是不确定的，但它大致应位于平均的循环周期附近。我们同样使用V/S来确定基础循环，因为当假设中存在的周期性的正弦波的长度足以覆盖一个完全循环时，它的极差会停止增长，因为达到了它的极大振幅，之后会出现一个明显的断点。我们使用一个名为V统计的公式来使它更为显著易见。

V =(R/S) /

下表是通过V统计得到的主要商品期货的非周期循环的主要频率

主要商品期货的非循期值表 单位：天

品种	观测起始日	观测终止日	观测次数	频率1	频繁2	频率3
S05大豆	96-5-17	02-5-21	1409	51	80	389
LME三月铜	95-2-9	02-11-6	1945	47	189	298
SBCX黄豆	93-8-2	02-11-6	2101	86	104	126
S11大豆	96-11-20	02--11-6	1393	观测不到	171	284
ZB小麦	01-8-1	02-11-6	303	观测不到	60	观测不到

(频率是不是周期之误?)

*ZB小麦的交易数据由于不够长所以会出现观测不到更大循环的情形

在此，可以得出一个显而易见的结论就是：一个可以值得相信的价格预测范围应该小于该品种最大的非周期循环数(数字是不是应为周期?)，同时也应该在该品种长期记忆的耗散周期之内。

同时这个测试还表明，期货合约在交割月的换月之后的新合约依然可以继承旧合约的记忆。

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