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陕西省气象局 张砷镓(10岁) 张时钊 刊于 数学学习(高等数学系列)《研究专刊》(1996)
据说数学家卡普利加发现了一种具有特殊性质的数，被叫作“卡普利加数”或“ 雷劈 数。它们是这样的数：如果在某一个位置上把它截成两个整数，这两个数的和的平方仍 然等于这个数。设截断的位置在右起第n和第n＋1位之间，截成的两个数为ａ与ｂ，即 该雷劈数等于a＊10n＋b。则它符合以下关系： a＊10＾n＋b ＝ （a＋b）＾2 ＝ a＾2＋2ab＋b＾2 ……………… ⑴ 第一个雷劈数是卡普利加在暴风雨中看到的、被雷电劈成两半的里程碑上的数字3025 ，它被截成30，25两个数，其和30＋25＝55的平方55＾2＝3025。这就是"雷劈数"的来历。 此后就有人热衷于寻找新的雷劈数。据说前苏联的一位小朋友找到一个劈成98和 1的雷劈 数：9801。在已知的一些雷劈数中，它们被劈成的两数之和都是 9或11的倍数，或者其和 减 1是 9的倍数，人们就是按这些经验去寻找新雷劈数。中国小学生刘益找到了最小的奇 数雷劈数81与偶数雷劈数100。 雷劈数在自然数中的分布十分稀少，它们在大数中密度更小。因为它们的密度是按指 数规律减少的。设＜N 的雷劈数个数为 n 个，则有 log（n）/log（N）<0.175，见下表： log(N) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n 1 2 5 7 9 11 18 21 26 32 57 59 65 log(n)/log(N) .000 .100 .175 .169 .159 .149 .157 .147 .141 .137 .146 .136 .129 这个雷劈数密度规律是由14位自然数内的全部雷劈数表实际统计而得，而长度在14位 以内全部共66个的雷劈数表是我们用计算机找出来的。从这张已知的雷劈数表可见，雷劈 数可以是奇数，也可以是偶数，但总是成对出现的，即对于一个相同的 b值，总有两个a1 、a2组成成对的雷劈数 a1＊10＾n＋b 和 a2＊10＾n＋b 。因为这个缘故，这张表中的雷 劈数没有完全按大小次序来排列。注意：对于任意的 n，2n位的数10^n＊（10^n－2）＋1 和 2n+1位的数10^2n 可叫作平凡雷劈数，但不成为一对，而是分别与 1和 0成对，即 b=1 时有 a1＝1 ，a2＝ 10^n－2构成一对；对于 b=0，有a1＝0，a2＝10^n 构成一对。 由于雷劈数太稀少，又象素数那样没有确定的分布规律，要用人工发现一个雷劈数是 很困难的，特别是大的雷劈数，即使用计算机去逐个去查找，也要很多时间。因为一个 n 位数可以在 n-1个不同的位置劈开，所以要试验ｎ次才能确定它是不是雷劈数。这样，要找 出所有长 n 位的雷劈数，就要试验（n－1）*（10^（n＋1）－10^n）＝（n- 1）＊9＊10^n ＝1.289＊10^16次，若用速度为 80兆的 486微机来计算，每秒可试验 30000次左右，也要 13614年。所以必须分析雷劈数的性质，从中找出并利用其规律。 由式⑴可知，当 b 已知时，该雷劈数的 a 值可以从下列方程式解出来： a^2 ＋ （2b－10^n)＊a + （b^2－ b） ＝ 0 …………………………… ⑵ 这是关于变数 a 的 2次方程式，它有两个根 a1、a2，这就是为什么雷劈数总是成对 的缘故。但要使⑵的根a1、a2是有效的自然数，必须使其判别式等于平方数： （2b－10^n）^2－4＊1＊（b^2－b）＝ 10^（2n）－4b＊（10^n－1）＝ c^2 …… ⑶ 由此式解出 b： b ＝ （10^n－c）＊（10^n＋c）/ 4 /（10^n－1） ………………………… ⑷ 只要找出一个能使 ⑷式的 b是整数的整数 c，并求出⑵式的两个根a1，a2 -（2b－10^n）±c 10^n ± c a1，a2 ＝ ──────── ＝ ────── － b ………………………… ⑸ 2 2 即找到了一对雷劈数a1＊10^n＋b，a2＊10^n＋b。现在代替从 1检查到 10^14找到全部 雷劈数，只要从 1检查到10^7，找使 ⑷式的 b是整数的 c 值，微机只要38分钟就完成了。 由⑸式我们可得每对雷劈数的和之积：（a1＋b）＊（a2＋b）＝（10^2n－ c^2） / 4 再把⑶式的 c^2 = 10^2n－4＊b＊（10^n－1）代入可得： （a1＋b）＊（a2＋b）＝ 2b＊（10^n － １） 因为 10^n－1 是 9 的倍数，即每对雷劈数中，至少有一个是 9的倍数。当 n是偶数 时，10^n－1 还是11的倍数，即两对雷劈数中，至少有一个的是11的倍数。这就是前面提 到的找雷劈数的经验方法所依据的规律。 这个规律也可以由所列的雷劈数表来进行验证： 在这66个雷劈数中，其和可同时被 9和11整除的占15％，能被 9整除的占52％，能被11整 除的占32％。但是还有32％既不能被 9整除也不能被11整除。 以上这种雷劈数是在某个位置劈成两个数再相加，其和的平方仍等于这个数。如果不 是相加，而是相减又会是怎么样的呢？也就是说，劈成两个数后，它们的差的平方等于该 自然数的数也应该有吧？编个程序找了一下，果然是有的，姑且把它叫作减雷劈数。减雷 劈数比原来的雷劈数少一半，它们也是成对的出现的。现在把１４位数以内的２８个减雷 劈数也录于后面，供大家验证。
附录１：14 位以内的雷劈数表 8 1, 10 0│ 494 1729│ 250500 250000│ 101558 217124│ 923594 037444 20 25│ 6048 1729│ 217930 248900│ 464194 217124│ 28 005264 30 25│ 9998 0001│ 284270 248900│ 43470 165025│ 989444 005264 98 01│ 10000 0000│ 213018 248521│ 626480 165025│ 999998 000001 100 00│ 4938 17284│ 289940 248521│ 35010 152100│ 1000000 000000 88 209│ 60494 17284│ 152344 237969│ 660790 152100│ 2428460 2499481 494 209│ 3008 14336│ 371718 237969│ 33058 148761│ 2572578 2499481 998 001│ 68320 14336│ 127194 229449│ 669420 148761│ 1975308 2469136 1000 000│ 238 04641│ 413908 229449│ 21948 126201│ 3086420 2469136 2450 2500│ 90480 04641│ 123448 227904│ 725650 126201│ 39390 0588225 2550 2500│ 99998 00001│ 420744 227904│ 20408 122449│ 8784160 0588225 744 1984│ 10000 000000│ 108878 221089│ 734694 122449│ 9999998 0000001 5288 1984│ 249500 250000│ 448944 221089│ 1518 037444│ 10000000 0000000
附录２： 14 位以内的减雷劈数表 10 0│ 6 084│ 10000 0000│ 3306 21489│ 10000000 0000000 12 1│ 1162 084│ 10002 0001│ 139672 21489│ 10000002 0000001 100 00│ 82 369│ 120 1216│ 1000000 000000│ 743802 3471076 102 01│ 1656 369│ 12312 1216│ 1000002 000001│ 16198350 3471076 1000 000│ 132 496│ 100000 00000│ 113322 449956│ 1002 001│ 1860 496│ 100002 00001│ 1786590 449956│
陕西省气象局 邮编：７１００１５
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